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梅森素数探究的一些奇闻趣事

  (胡晓昕 )美国中央密苏里大学数学家库珀领导的研究小组通过参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)项目,日前发现了第48个梅森素数2^57885161-1;该素数也是目前已知的最大素数,有17425170位;如果用普通字号将它连续打印下来,它的长度可超过65公里!美国数学学会发言人布林说:“超大素数令数学家和计算机科学家感到兴奋。”他认为这是素数探究的一项重大突破。

  素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数,如2、3、5、7、11等等。2300年前,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数有无穷多个,并提出少量素数可写成“2^P-1”(其中指数P也是一个素数)的形式。由于2^P-1型素数具有许多独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。这种素数被称为“梅森素数”(Mersenne prime)。迄今为止,人类仅发现48个梅森素数。梅森素数珍奇而迷人,因此被誉为“数海明珠”。在梅森素数的探究历程中,曾有不少奇闻趣事,这里仅略举几例。

  1644年,法国数学家梅森在《物理数学随感》一书中提出著名的猜想(现称“梅森猜想”):对于P=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127和257时,2^P-1是素数;而对于其他所有小于257的数时,2^P-1是合数。前面的7个数(即2,3,5,7,13,17和19)属于被证实的部分,是他整理前人的工作得到的;而后面的4个数(即31,67,127和257)属于被猜测的部分。当时,人们对其猜想深信不疑,连德国数学大师莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

  其实梅森的猜想有若干错漏(错了两个,漏掉三个);但由于他是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,还是法兰西科学院的奠基人,为了纪念他,数学界在19世纪末将2^P-1型素数称为“梅森素数”。

  梅森素数貌似简单,但当指数P值较大时,其探究难度就会很大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。1772年,瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下,花了两天的时间,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数,堪称当时世界上已知的最大素数。

  欧拉证明这一素数的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已;他也因此获得了“数学英雄”的美名。难怪法国大数学家拉普拉斯经常对他的学生说:“读读欧拉,他是我们每一个人的老师。”

  也许是因为梅森的名气太大了,而没有人敢对其猜想表示怀疑。1930年,在美国数学学会的年会上,数学家科尔作了一次精彩的演讲,他提交的论文题目是“关于大数的因子分解”。在“演讲”过程中,他始终一言不发,只默默地在黑板上进行计算。他先算出2^67-1的结果,再算出193707721×7的结果,两个结果完全一样。科尔第一个否定了“2^67-1是个素数”这一自梅森断言以来一直被人们相信的结论,其“演讲”赢得了全场听众起立热烈鼓掌和齐声喝彩。这个“一言不发的演讲”成了科学史上的佳话。

  会后,人们问科尔:“你花费多少时间来研究这个问题?”他静静地说:“三年的全部星期天。”后来,这一传奇的“演讲”使他当选为美国数学学会的会长。他去世后,该学会专门设立了“科尔奖”,用于奖励作出杰出贡献的数学家。

  探究梅森素数不仅极富挑战性,而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8点,当美国数学家吉利斯领导的研究小组通过大型计算机找到第23个梅森素数2^11213-1时,美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放,在第一时间发布了这一震奋人心的消息;这在ABC的节目史上是绝无仅有的一次。另外美国一些报纸把这一消息作为头版头条来报道。

  吉利斯所在的伊利诺伊大学数学系为这一重大发现感到无比骄傲。为让全世界都分享这一成果,以致于把所有从系里发出的信件上都盖上了“2^11213-1是个素数”的邮戳。这一做法一直延续到1976年该系数学家证明著名的“四色定理”为止。

  随着指数p值的增大,每一个梅森素数的产生都艰辛无比;而数学家和业余数学爱好者仍乐此不疲,激烈竞争。例如,在1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布他们找到第26个梅森素数2^23209-1时,有人告诉他们:在两星期前美国加州的高中生诺尔就已经给出了同样结果。

  为此他们潜心发奋,继续寻找,使用Cray-1型超级计算机并花了一个半月的时间,终于找到了新的梅森素数2^44497-1。这件事成了当时不少主流报纸的头版新闻。后来史洛温斯基还独自发现了6个梅森素数,因而被人们誉为“素数大王”。顺带一提,找到梅森素数最多的单位是美国加州大学洛杉矶分校数学系,一共发现8个。

  梅森素数的分布时疏时密、极不规则,另外人们尚未知梅森素数是否有无穷多个,因此探究梅森素数的重要性质分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。中国数学家、语言学家周海中1976年在广东雷州半岛当“下乡知青”时就开始探究梅森素数的分布规律。因当时这方面的资料十分匮乏,加之没有计算机,所以其探究在初期就困难重重,有过无数次的失败,但他并不气馁。有一天,他在阅读一本关于法国数学大师费马的书时,突然想到了“费马数”的形式,这为他日后解决难题找到了突破口。

  经过多年的不懈努力,周海中终于在1992年发现了梅森素数的分布规律,并给出它的精确表达式。后来这项重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主塞尔伯格认为:周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。

  在“手算笔录”的年代,人们仅找到12个梅森素数。而计算机的诞生,尤其是网格技术的出现,加速了梅森素数探究的进程。1996年,美国数学家、程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序,把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的GIMPS项目。该项目采取网格计算的方式,并利用大量普通计算机的闲置处理能力来获得相当于超级计算机的运算能力。1997年,美国数学家、程序设计师库尔沃斯基建立了“素数网”(PrimeNet),使分配搜索区间和向GIMPS发送报告自动化。为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展,总部设在美国的电子新领域基金会(EFF)于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。

  迄今为止,人们通过GIMPS项目找到了14个梅森素数,其发现者来自美国、英国、法国、德国、挪威和加拿大。目前,世界上有180多个国家和地区超过27万人参加了这一国际合作项目,并动用了74万多台计算机联网来寻找新的梅森素数。

  线日,美国加州大学洛杉矶分校数学系计算中心的雇员史密斯,通过GIMPS项目发现了第46个梅森素数2^43112609-1。他是私自利用中心内的75台计算机参加该项目的。按校规他本应受到惩罚,但由于为学校争了光,他反被表彰。著名的美国《时代》周刊曾将第46个梅森素数评为“2008年度50项最佳发明”之一。前不久,史密斯还获得了EFF颁发的10万美元大奖及金牌一枚。

  另一位仁兄就没有这样的运气。美国一家电话公司的雇员福雷斯特偷偷地使用公司内的2585台计算机参加GIMPS项目。随后公司发现计算机经常会出些差错,本来只需要5秒钟就可以接通的电线分钟才能接通。联邦调查局最终查到了原因,福雷斯特承认“被GIMPS项目引诱”。他最后被解雇,并被罚款一万美元。(胡晓昕 写于新加坡国立大学)

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